CUADRO COMPARATIVO

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO: PERMUTACIONES, COMBINACIONES Y ORDENACIONES.

INTRODUCCIÓN

La Estadística se ha convertido en un efectivo método para describir, relacionar y analizar los valores de datos económicos, políticos, sociales, biológicos, físicos, entre otros. Pero esta ciencia no sólo consiste en reunir y tabular los datos, sino en dar la posibilidad de tomar decisiones acertadas y a tiempo, así como realizar proyecciones del comportamiento de algún evento. Es así como el desarrollo de la teoría de la Probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la Estadística.

La Estadística es la rama de las matemáticas que organiza, analiza e interpreta la información obtenida de la recolección de datos relacionados con una población. Estos datos pueden ser cuantitativos (numéricos) o cualitativos (características)
La Estadística Descriptiva estudia exclusivamente la recolección y descripción de datos numéricos, mientras que la Estadística Inferencial interpreta, deduce y prevé las tendencias del comportamiento de una población.

A menudo se presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede ser realizado. Otras veces es importante determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento específico. En ambos casos se apela al sentido común, o se establecen métodos que permitan sistematizar tales cálculos. Con frecuencia el sentido común ayuda a entender por qué se eligió un procedimiento dado, mientras que la formalización del cálculo las vías para encontrar las soluciones apropiadas.

Se analizarán algunas técnicas para determinar el número de resultados posibles de un experimento o evento particular, o el número de elementos de un conjunto determinado, sin enumerarlo directamente. Un conteo como éste se denomina algunas veces análisis co0mbinatorio.        

PRINCIPIOS BÁSICOS DE CONTEO   

Hay dos principios básicos de conteo que se utilizarán a lo largo de este capítulo, uno comprende la adición y otro la multiplicación.   
Principio de adición. Supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas y un segundo evento F puede ocurrir en n formas, y supongamos que ambos eventos no pueden ocurrir en forma simultánea (disjuntos o mutuamente excluyentes). Entonces E o F pueden ocurrir en m + n formas.
Principio de multiplicación. Supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas e independientemente de este evento, un evento F puede ocurrir en n formas. Entonces las combinaciones de los eventos E y F pueden ocurrir en mn formas.
Claramente estos principios pueden ampliarse a tres o más eventos.

PERMUTACIONES SIMPLES    
Cualquier ordenamiento de un conjunto de n objetos en un orden dado se denomina una permutación de los objetos (tomados todos a la vez) (nPn). Cualquier ordenamiento de r ≤ n de estos objetos en un orden determinado se denomina una permutación de n objetos tomados de r a la vez (nPr).
Teorema: nPr = n!  
(n – r)!           
Siendo x! (se lee x factorial) un elemento que se define como el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a x.      
Nota: En particular se define 0! = 1! = 1
Corolario: nPn = n!

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN.          
Frecuentemente se desea conocer el número de permutaciones de un multiconjunto, es decir, un conjunto de objetos algunos de los cuales no son diferenciables.
Teorema: nPp,q, r… = n!   
p! q! r! …       

PERMUTACIONES CIRCULARES       
Cuando los elementos que se ordenan se colocan en círculo, se dice que las permutaciones son circulares.
Teorema: nPcn = nPn = (n – 1)!  
n

nPcr = nPr   
r

COMBINACIONES
Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos, tomados r a la vez, es cualquier colección de r objetos en donde el orden no cuenta.        
Teorema: nCr = n!  
r! (n – r)!        

DIAGRAMA DEL ÁRBOL 
Un diagrama del árbol es un mecanismo utilizado para enumerar todos los resultados posibles de una secuencia de experimentos o eventos donde cada evento puede ocurrir en un número finito de formas.           

Estrategia didáctica 2.2.2.2. Eventos y porcentajes

Estrategia didáctica 2.2.2.2. Eventos y porcentajes

Comentario: En esta práctica se presentan y discuten las primeras ideas de eventos y porcentajes. Estas actividades se realizarán sin calculadora debido a que el alumno planteará posibilidades de eventos que el profesor le propondrá previamente a la discusión.

 

I. Podemos decir que todo lo que nos ocurre a diario es impredecible. No sabemos cuánto tiempo haremos de la casa a la escuela, pues no depende muchas veces de nosotros mismos el tiempo empleado. Todas aquellas acciones que hacemos son impredecibles pues no estamos seguros completamente de lo que va a ocurrir. A este tipo de fenómenos los llamamos aleatorios. No sabemos si nos titularemos en el tiempo previsto, ni si nos vamos a poner a trabajar a cierta edad o si nos vamos a casar pronto o tarde o nunca. No sabemos incluso cuál será nuestra calificación en un curso o si entregaremos la tarea de mañana. A cada una de estas acciones las llamaremos sucesos. Algunos tienen una posibilidad alta de ocurrir, como la de llegar a tiempo un jueves a la escuela, pero hay otros suceso cuya posibilidad de ocurrir es remota, como la de viajar a Europa este fin de semana. La siguiente práctica hace uso de tus condiciones familiares en las que estás ahora. Responde gradualmente las preguntas para que reflexiones cómo se examinan los fenómenos aleatorios.

1. ¿Qué posibilidades puedes asignarle a los siguientes sucesos si supones que exista la posibilidad de que puedan ocurrirte durante el transcurso del año escolar?

a)      Que trabajes. 

b)      Que egreses del CCH.

Es mucho más posible que debido a los diferentes imprevistos que se puedan suscitar a lo largo de la carrera escolar, el alumno tenga que trabajar para recuperar los recursos económicos que le sean solicitados, a que suceda la segunda opción, ya que para lograr titularse, ya que fue necesario haber egresado de un nivel medio superior, como lo ocupa el Colegio de Ciencias y Humanidades.

Organiza la información de manera que consideres cada una de las acciones posibles que pueden suceder en el orden que los consideres posibles.

2. En este momento tienes aproximadamente 17 años. Si todo resulta de acuerdo a tus predicciones, es posible que te titules alrededor de los 24 años, dependiendo de la carrera que estudies, y, desde luego, si este es tu propósito. Pero es posible que en los años que vienen ocurran imprevistos que retarden o imposibiliten tu propósito de titularte. ¿Cuáles son, en tu opinión, todas los sucesos que pueden impedirte o retardar la posibilidad de que te titules en la carrera que deseas? Enuméralos a cada uno de ellos.

1.      Obtener bajas calificaciones a lo largo de la carrera escolar

2.      No contar con los suficientes recursos económicos que se solicitan

3.      Obtener una baja temporal de la institución debido a un problema de salud

4.      Obtener una baja definitiva de la institución con motivo a calificaciones reprobatorias

5.      Cambio de institución por motivos ajenos a esta,

6.      Clausura de la institución

3. Construye una gráfica o cuadro donde organices todas las posibilidades que pueden darse para titularte y trabajar, si consideras estos sucesos que usaste en la pregunta anterior. Considera que también existe la posibilidad de que no te titules.

Guardar con el nombre nombre-apellido.E2.2.2.Eventos-grupo.doc

Evento	Posibilidad en que pueda presentarse este evento
1.      Obtener bajas calificaciones a lo largo de la carrera escolar	1° lugar
2.      No contar con los suficientes recursos económicos que se solicitan	2° lugar
3.      Obtener una baja temporal de la institución debido a un problema de salud	3° lugar
4.      Obtener una baja definitiva de la institución con motivo a calificaciones reprobatorias	4° lugar
5.      Cambio de institución por motivos ajenos a esta,	5° lugar
6.      Clausura de la institución	6° lugar

Estrategia didáctica 2.2.2.3. Diagrama de Árboles

Estrategia didáctica 2.2.2.3. Diagrama de Árboles

Comentario: En esta estrategia se construirán árboles. El propósito es que el alumno note que estos diagramas son muy útiles para organizar mejor la información que ha reunido en la práctica anterior.

1. Considera dos sucesos: Casarte antes de los 24 años, y Titularte antes de los 24. Construye un gráfico en el que consideres sólo estos dos sucesos. Considera que existen 4 posibilidades: Casarte y Titularte; casarte y no titularte; no casarte y titularte y no casarte y no titularte. Organiza la información de la siguiente manera: Dibuja un punto a partir del cual traces a su derecha dos segmentos separados un ángulo de 45° aproximadamente (puede ser menor o mayor). Al final de un segmento coloca la letra C (que significa “casarse”) y al término del otro coloca las letras NC (que significa “no casarse”).  Luego dibuja dos segmentos con la misma forma que los dos primeros a la derecha de la letra C (has lo mismo para las letras NC). Tendrás 4 segmentos terminales en los que colocarás de arriba abajo respectivamente, las letras T, NT, T, NT (significan T: titularte y NT: no titularte.)

2. Al arreglo anterior se le llama diagrama de árbol y cada una de las letras representa un suceso. Si recorres el árbol a partir del primer punto que dibujaste y a lo largo de una rama hasta el suceso T o NT, has reproducido una de las 4 posibilidades que existen para que estos sucesos ocurran y que son los mismos que enunciaste en el punto anterior de esta práctica. Coloca entre cada uno de los segmentos del árbol, a la mitad, las posibilidades que asignaste a cada uno de los sucesos de que te ocurrieran.

3. Ahora usa los sucesos C: Ser católico y D: Divorciarse. Construye el diagrama de árbol para ambos y asígnale las posibilidades de que ocurran para una persona en particular.

4. Considera ahora los siguientes sucesos: Católico, Protestante, Religión bíblica no evangélica, Judaica, Otras Religiones (budistas, musulmanes, etc.) y Sin Religión. Para todos ellos juntos construye un diagrama de árbol en el que a partir de cada religión construyas dos ramas en las que evalúes la posibilidad de que una persona con esa creencia se divorcie o no se divorcie.

5. Repite el árbol anterior pero considerando su construcción sólo para mujeres.

6. Hazlo ahora también para hombres. ¿Crees que las posibilidades de que una mujer siendo católica se divorcie sea mayor de que siendo una mujer sin religión se divorcie? ¿porqué? ¿qué piensas acerca de las posibilidades de que los hombres se divorcien según sean protestantes católicos o ateos?

7. ¿Qué consideras más probable, que un alumno casado se titule o que no siendo casado se titule? ¿de que siendo casado no se titule o de que no siendo casado no se titule?

 

Los diagramas de árbol sirven para que se describa y se plantee de mejor manera un problema. En cada rama se tienen todos los posibles sucesos de interés y al final de cada rama anterior se ramifican todos los sucesos posibles posteriores por rama. Esto se verá a continuación..

1. Es posible que hayas construido, en la práctica anterior, un árbol que tuviese la siguiente forma:

                            

Donde C: casarse y T: titularse. Los porcentajes que alguien pudo haber asignado, como 10% para casarse, está representado como proporción (divide el porcentaje entre 100) de 0.1, y así también para los demás valores. Esto se hace con propósitos de realizar cálculos. Estas proporciones se les llamará probabilidades.

Puedes observar que hay 4 ramas que pueden resumirse con letras como sigue: 1) C-T, 2) C-NT, 3) NC-T y 4) NC-NT. A las primeras probabilidades con que se inicia en el árbol, se les llamará “probabilidades iniciales o probabilidades a priori”. Al segundo grupo de probabilidades se les llamará “probabilidades condicionales”, porque al leerlas se usa la palabra “si”. Por ejemplo, para el árbol anterior se tiene:

Probabilidades iniciales

0.1  es la probabilidad de casarse.

0.9 es la probabilidad de no casarse

Probabilidades condicionales

0.3 es la probabilidad de titularse si una persona se casa.

0.7 es la probabilidad de no titularse si una persona se casa.

0.95 es la probabilidad de titularse si una persona no se casa.

0.05 es la probabilidad de no titularse si una persona no se casa.

Reproduce estos textos para los siguientes árboles:

a)      El que construiste en el punto 1 de la práctica 1.

b)      Los que construiste en los puntos 3 y 4 de la práctica 2.

En cada caso clasifica las probabilidades por sus nombres.

2. Las probabilidades anteriores se representan de manera que se lean tal y como las escribiste, pero también con el propósito de distinguirlas. Se usa el símbolo P(C), que significa “la probabilidad de C”, donde C es el suceso que la letra describe, para probabilidades iniciales, y P(T|C) para denotar la “probabilidad de T si C” (o la probabilidad de T dado C, -o dada la ocurrencia de T), para las probabilidades condicionales. La barra vertical se lee “si” o “dado que”. Por ejemplo, si escribimos P(C)= 0.1, queremos decir que la probabilidad de que una persona se case es de 0.1 (o que el 10% de las personas están casadas); si anotamos que P(T|C) = 0.8 queremos decir que la probabilidad de que una persona se titule si se casa es de 0.8 o lo que es lo mismo que el 80% de las personas tituladas están casadas.

Representa con esta notación todas y cada una de las probabilidades que escribiste en el punto anterior.

 

1. En este punto te habrás dado cuenta que hemos descrito los fenómenos sólo con dos probabilidades: la probabilidad inicial y la probabilidad condicional. Pero cada una de ellas describe el suceso (evento), de manera independiente al otro. Necesitamos construir una probabilidad que considere la posibilidad de que ambos eventos ocurran, es decir que considere la posibilidad de la ocurrencia de todo el proceso completo. No sólo necesitamos la probabilidad de que alguien se case o de que alguien se titule si se casa, sino de que haga ambas cosas: de que se case y se titule. En el árbol que se presentó en la práctica 3, hay 4 ramas que fueron descritas en esa misma práctica como 1) C-T, 2) C-NT, 3) NC-T y 4) NC-NT. Estas son las 4 formas en que puede ocurrir este proceso con dos eventos que denotaremos como 1) C y T, 2) C y NT, 3) NC y T y 4) NC y NT. Es decir, usaremos la palabra “y” para indicar la posibilidad de que ambos procesos ocurran. Denotaremos la probabilidad de que sucedan como P(C y T), P(C y NT), P(NC y T) y P(NC y NT) respectivamente.

2. ¿Cómo se calcula una probabilidad de este tipo?. Usaremos el árbol para entenderlo. Dado que esta probabilidad es el resultado de dos eventos, es razonable usar las probabilidades de ambos para construirla. La manera más adecuada es que las probabilidades que se lean sobre las ramas correspondientes a la probabilidad que se desea calcular se deben multiplicar para hallar el valor de esta última. Por ejemplo, para calcular P(C y T) = (0.1)(0.3) = 0.03. Calcula los valores de las otras 3 probabilidades de la misma manera. A esta regla la llamaremos regla de la multiplicación.

A cada una de las probabilidades obtenidas las llamaremos de una manera particular: probabilidades finales. (No las encontrarás con este nombre en los libros, es sólo una manera de distinguirlas de las que ya tenemos y de las que encontraremos en prácticas próximas). Calcula todas las probabilidades finales de cada uno de los árboles que obtuviste en las siguientes prácticas:

a)      El que construiste en el punto 1 de la práctica 1.

b)      Los que construiste en los puntos 3 y 4 de la práctica 2.

En cada caso interpreta las probabilidades.

3. Habrás notado que las probabilidades tienen una particularidad. Para las probabilidades iniciales, la suma de todas ellas es 1 (o bien el porcentaje de todos los eventos es de 100%); para las probabilidades condicionales, la suma también es uno, según la condición o dada la condición (¡verifícalo!). Esta misma propiedad también la tienen las probabilidades finales. Si sumas todas ellas, la suma debe ser uno. ¿Puedes explicar porqué es así? ¿qué razones prácticas explican este resultado?

EJERCICIOS

1. La probabilidad de que un médico diagnostique correctamente una enfermedad en particular es de 0.7. Si  realiza un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente levante una demanda es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el médico realice un diagnóstico incorrecto y el paciente lo demande?

Eventos

C : Diagnostico correcto

D : Demanda

P(C)=0.7 --> P(no C) = 1-0.7 = 0.3

P(D|no C) = 0.9

La probabilidad de que el médico realice un diagnostico incorrecto y que el paciente lo demande es P(D y no C)

Como P(D|no C) = P(D y no C) / P(no C) , entonces

P(D y no C) = P(D|no C)*P(no C) = 0.9*0.3 = 0.27

2.      La probabilidad de que un automóvil al que se le llena el tanque de gasolina también necesite un cambio de aceite es de 0.25, la probabilidad de que necesite un filtro de aceite es de 0.40 y la probabilidad de que necesite cambio de aceite y filtro es de 0.14. (a) Si se necesita un cambio de filtro, ¿cuál es la probabilidad de que necesite un cambio de aceite?; (b) Si necesita cambio de aceite, ¿cuál es la probabilidad de que necesite cambio de filtro?

Se trata de probabilidad condicional

C --> Cambio de aceite

F --> Cambio del filtro de aciete

P(C)=0.25

P(F)=0.40

P(CyF)=0.14

a) Debemos calcular P(F|C)

P(F|C) = P(FyC) / P(C) = 0.14 / 0.25 = 0.56

b) Debemos calcular P(C|F)

P(C|F) = P(FyC) / P(F) = 0.14 / 0.40 = 0.0.35

Guardar con el nombre nombre-apellido.E2.2.2.3.Arboles -grupo.doc

Actividad de aplicación de medidas de tendencia central y posición.

El Profesor Pedro, Titular del sexto año de la Escuela Primaria “Pedro Rodríguez Vargas”, al tomar lectura de rapidez obtuvo los siguientes resultados.

Alumno	Núm. Palabras	Alumno	Núm. Palabras	Alumno	Núm. Palabras	Alumno	Núm. Palabras	Alumno	Núm. Palabras
Antonio	208	Carlos	205	Diana	197	Gabriel	200	Samuel	197
Angel	207	Carina	200	Efren	77	Guadalupe	199	Sara	78
Ana	205	Carmen	198	Elena	87	Hansel	88	Jacinto	90
Anabel	70	Carina	73	Francisco	100	Haydee	105	Jacinta	108
Bartolo	83	Dionisio	86	Fabiola	127	Ignacio	120	Lucio	115
Berenice	93	Dafne	95	Fabio	133	Ian	140	Lucina	80
Benito	123	Dagoberto	130	Fanny	137	Idalia	145	Rafael	210
Luis	147	Ivan	153	Isidro	165	Raúl	170	Miguel	172

Observa con cuidado la información y formula tu hipótesis, una vez construida procede a demostrar tu apreciación, para ello tienes que organizar la información en un cuadro de datos agrupados, formando intervalos cuya distancia entre intervalos pueden ser, 5, 7, 10, o cualquier otro, con la finalidad de obtener la media de dato agrupados, igualmente las medidas de posición, tales como los Cuartiles (Q₁, Q_2, y Q_3.), así mismo obtén los deciles 4, y 7, y finaliza el dilema obteniendo el percentil 45, 75. Para resolver la situación puedes auxiliarte de las fuentes de información proporcionadas.

La actividad la puedes llevar a cabo en equipo de tres colegas, así que selecciona tus compañeros, realiza la actividad y entrega tus resultados al profesor. (Te recordamos que es un producto que tiene valor para tu evaluación)

Hipótesis 

Los alumnos de la escuela Primaria Pedro Rodriguez Vargas en la prueba de rapiez lectora tienen un previo antecednente de acuerdo a los años que an practicado la lectura, basandose em la agilidad, comprension ¿, y la efeicacia al poder abordar un texto con facilidad. Independientemente de las edades que poseen los alumnos hay cierta diferncia en los niveles de fluidez lectora, incluso al encontrarse bajo los mismos rangos de edad, existe constnatemente un desnivel en la competencia de los alumnos fente a esta tematica. El grado a nivel de estudios sera el mismo en una muestra de la poblason etudiantil, pero con cierta variacion de los resultados obtenidos